Nếu U {\displaystyle U} là tập con mở của mặt phẳng phức C {\displaystyle \mathbb {C} } , thì hàm số f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } bảo giác khi và chỉ khi hàm đó là hàm chỉnh hình và đạo hàm của nó khác không mọi điểm trên U {\displaystyle U} . Nếu f {\displaystyle f} phản chỉnh hình (tức là liên hợp của hàm chỉnh hình), nó vẫn bảo toàn góc nhưng đổi ngược hướng.

Ngoài ra, còn có định nghĩa khác cho ánh xạ bảo giác như sau: là ánh xạ f {\displaystyle f} có tính 1-1 và chỉnh hình trên một tập mở của mặt phẳng phức. Định lý ánh xạ mở buộc hàm ngược của nó (định nghĩa trên ảnh của f {\displaystyle f} ) cũng phải là hàm chỉnh hình. Do đó, dưới định nghĩa này, hàm là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi nó đối chỉnh hình. Hai định nghĩa này không tương đương nhau. Có tính 1-1 và chỉnh hình thì sẽ suy ra có đạo hàm khác không. Song hàm mũ là hàm chỉnh hình với đạo hàm khác không nhưng không có tính 1-1 bởi hàm số có tính tuần hoàn.[2]

Định lý ánh xạ Rieman, một trong những kết quả nổi bật của giải tích phức, phát biểu rằng bất kỳ tập con mở thực sự đơn liên của C {\displaystyle \mathbb {C} } đều có song ánh bảo giác từ nó sang hình tròn đơn vị mở trong C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Ánh xạ bảo giác toàn cục trên mặt cầu Riemann

Ánh xạ từ mặt cầu Riemann lên chính nó là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi ánh xạ là phép biến đổi Möbius.

Liên hợp phức của biến đổi Möbius bảo toàn góc nhưng đảo ngược hướng. Ví dụ như nghịch đảo đường tròn.